如图1.在正方形ABCD中.E是AB上一点.F是AD延长线上一点.且DF=BE．易证:CE=CF．(1)在图1中.若G在AD上.且∠GCE=45°．试猜想GE.BE.GD三线段之间的数量关系.并证明你的结论．中解答所积累的经验和知识.完成下面两题:①如图2.在四边形ABCD中∠B=∠D=90°.BC=CD.点E.点G分别是AB边.AD边上的动点．若∠BCD=α.∠ECG=β.试探索� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．易证：CE=CF．

（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：
①如图2，在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD=α，∠ECG=β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．
②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．

分析（1）由SAS证得△EBC≌△FDC，再由SAS证得△ECG≌△FCG，可得到EG=FG，即可得出结果；
（2）①延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，结合条件可证得△ECG≌△FCG，故EG=GF，可得出结论；
②延长BA交y轴于E点，可证得△OAE≌△OCN，进一步可证得△OME≌△OMN，可求得MN=AM+AE

解答解：（1）GE=BE+GD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，F是AD延长线上一点，
∴BC=DC，∠FDC=∠EBC=90°，
在△EBC和△FDC中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}\\{∠FDC=∠EBC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°，
∴∠ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG=GF，
∴GE=BE+GD；

（2）①α=2β时，GE=BE+GD；理由如下：
延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，如图（2）所示：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠B=∠FDC=90°，
在△EBC和△FDC中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}\\{∠FDC=∠EBC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，
∴∠BCE+∠DCG=∠GCF，
当α=2β时，∠ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG=GF，
∴GE=BE+GD；

②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化；
延长BA交y轴于E点，如图（3）所示：
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CON}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠EAO=∠NCO=90°}&{\;}\end{array}\right.$
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=ON}&{\;}\\{∠EOM=∠NOM=45°}&{\;}\\{OM=OM}&{\;}\end{array}\right.$．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．