Question

14．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②AP=BQ；③DE=DP；④∠AOB=60°．恒成立的结论有几个（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①只要证明△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），可知②正确；
③首先证明DP=EQ，由DE＞QE，且DP=QE，推出DE＞DP，（故③错误）；
④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．

解答 解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，（故①正确）；

②又∵AC=BC，∠ACP=∠BCQ=60°，∠DAC=∠EBC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴AP=BQ，（故②正确）；

③∵△ACP≌△BCQ，
∴AP=QB，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-AP=BE-QB，
∴DP=EQ，
∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故③错误）；

④∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故④正确）．
∴正确的有：①②④．
故选C．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找三角形全等是解答本题的关键，属于中考常考题型．