Question

15．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，ED⊥BC于D，求AE的长．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出BC的长，再由角平分线的性质得出AE=DE，由全等三角形的判定得出△ABE≌△DBE，故可得出AB=BD=1，进而可得出CD的长，设AE=x，则CE=1-x，根据勾股定理即可得出结论．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵BE平分∠ABC交AC于E，ED⊥BC于D，
∴AE=DE．
在Rt△ABE与Rt△DBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴BD=AB=1，
∴CD=$\sqrt{2}$-1．
设AE=x，则CE=1-x，DE=x，
在Rt△CDE中，
∵DE²+CD²=CE²，即x²+（$\sqrt{2}$-1）²=（1-x）²，解得x=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查的是的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．