Question

20．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，经通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质和平移得：AD∥PQ，AD=PQ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：APQD是平行四边形；
（2）OA⊥OP，OA=OP，理由是：根据SAS证明△ABO≌△PQO，得OA=OP，∠AOB=∠POQ，再根据∠BOQ=90°，得∠BOP+∠AOB=90°，得出结论．

解答 证明：（1）四边形APQD是平行四边形，理由是：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，
由平移得：BC=PQ，
∴AD∥PQ，AD=PQ，
∴四边形APQD是平行四边形；
（2）OA⊥OP，OA=OP，理由是：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABO=∠OBC=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠BOQ=90°，
∴∠OQB=45°，
∴∠OQB=∠ABO=∠OBQ=45°，
∴OB=OQ，
在△ABO和△PQO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=PQ}\\{∠ABO=∠OQB}\\{OB=OQ}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∵∠BOQ=∠BOP+∠POQ=90°，
∴∠BOP+∠AOB=∠AOP=90°，
∴OA⊥OP．

点评 本题考查了正方形和平移的性质，明确正方形的各边相等且平行，每个角都是90°，且一条对角线平分一组对角；在证明两条线段的位置关系时，要分别说出位置和大小关系，根据全等三角形的性质得出即可．