Question

10．如图，已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，AC=2，动点P在半圆弧$\widehat{AB}$上运动（不与A、B两点重合），点P、C在直径AB的异侧，连接PB、PC，过点C作直线PB的垂线段CD，垂足为点D．
（1）在点P运动过程中，∠PCD的度数变化吗？若变化，说明理由，若不变，求∠PCD的度数；
（2）当点P运动到什么位置时，△PCD与△ABC全等；（直接在答题卡的图1中作出点P的位置，保留作图痕迹）
（3）在点P运动过程中，当CP⊥AB时，求∠BCD的度数和线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）由AC=$\frac{1}{2}$AB，求得∠ABC=30°，继而可得∠CPD=∠A=60°，求出∠PCD的度数；
（2）根据当CP是直径时，△PCD与△ABC全等作图；
（3）由（1）易求得∠PCD的度数，又由垂径定理，可求得∠ACP的度数，求出∠BCD的度数，根据垂径定理和勾股定理求出线段CD的长．

解答 解：（1）∠PCD的度数不变．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，又AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=90°-∠ABC=60°，
∴∠CPD=∠A=60°，又CD⊥PB，
∴∠PCD=30°；
（2）如图3：当CP=AB，即CP为⊙O的直径时，△PCD与△ABC全等；
（3）如图2，∵∠A=60°，
∴∠BPC=∠A=60°，
∵CD⊥PB，
∴∠PCD=90°-∠BPC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AP}$，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD═90°-30°-30°=30°，
∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CE，
解得，CE=$\sqrt{3}$，
∵CP⊥AB，
∴CP=2CE=2$\sqrt{3}$，又∠P=60°，
∴CD=CP×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角相等、30°所对的直角边是斜边的一半是解题的关键，解答时注意数形结合思想的应用．