Question

1．如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于Q点，BP⊥AD于P点．
求证：（1）△BAE≌△ACD；
（2）∠BQP=60°；
（3）BQ=2PQ．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，即可证明．
（2）根据三角形的外角的性质，∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，即可证明．
（3）利用直角三角形30度性质即可解决问题．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠C=60°}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS），


（2）∵△ABE≌△CAD
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，

（3）∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解题的关键．