Question

四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交叉形成一个四边形EFGH，求证：
（1）四边形EFGH对角互补；
（2）若四边形ABCD为平行四边形，则四边形EFGH为矩形；
（3）四边形ABCD为矩形，则四边形EFGH为正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,矩形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠EAB+∠EBA=

1

2

∠BAD+

1

2

∠ABC，∠GCD+∠GDC=

1

2

∠BCD+

1

2

∠ADC，然后根据四边形的内角和等于360°求出∠EAB+∠EBA+∠GCD+∠GDC=180°，再根据三角形的内角和定理列式求出∠E+∠G=180°，从而得证；
（2）根据平行四边形的邻角互补求出∠EAB+∠EBA=90°，再根据三角形的内角和定理求出∠E=90°，同理可求∠BHC=∠G=∠AFD=90°，然后根据四个角都是直角的四边形是矩形证明；
（3）判断出△ABE、△BCH、△CDG、△ADF都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE=BE=CG=DG，BH=CH=AF=DF，然后求出EF=FG=GH=HE，再结合（2）证明即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交，
∴∠EAB+∠EBA=

1

2

∠BAD+

1

2

∠ABC，∠GCD+∠GDC=

1

2

∠BCD+

1

2

∠ADC，
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠EAB+∠EBA+∠GCD+∠GDC=

1

2

×360°=180°，
∴∠E+∠G=180°-（∠EAB+∠EBA）+180°-（∠GCD+∠GDC）=180°，
同理可得∠BHC+∠AFD=180°，
∴∠EFG+∠EHG=180°，
故四边形EFGH对角互补；

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠EAB+∠EBA=

1

2

∠BAD+

1

2

∠ABC=

1

2

×180°=90°，
∴∠E=180°-（∠EAB+∠EBA）=180°-90°=90°，
同理可得∠BHC=∠G=∠AFD=90°，
∴四边形EFGH为矩形；

（3）证明：∵四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交，
∴△ABE、△BCH、△CDG、△ADF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE=CG=DG，BH=CH=AF=DF，
∴EF=FG=GH=HE，
由（2）可知，四边形EFGH为矩形，
∴四边形EFGH为正方形．

点评：本题考查了正方形的判定，矩形的判定，角平分线的定义，四边形的内角和定理，熟练掌握矩形，正方形与平行四边形的关系以及是解题的关键．