Question

2．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，0）
• B． （2，0）
• C． （$\frac{5}{2}$，0）
• D． （3，0）

Answer 1

分析 过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．

解答 解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD=90°，
∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAC=∠BCD}\\{∠AOC=∠BDC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC=BD，OA=CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD=3，BD=1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
将B（3，1）代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=3，
∴y=$\frac{3}{x}$，
∴把y=2代入y=$\frac{3}{x}$，
∴x=$\frac{3}{2}$，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了$\frac{3}{2}$个单位长度，
∴C也移动了$\frac{3}{2}$个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（$\frac{5}{2}$，0）
故选（C）

点评 本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．