Question

6．如图，在在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=-x+9，点P是BC边上一个动点，
（1）当PB=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．

解答 解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=-x+9，
∴OC=9，D点的纵坐标为4，D点的横坐标为5，
作DN⊥BC交于N，如图1所示：
则四边形OADN为矩形，
∴CN=OC-ON=OC-AD=9-5=4，DF=4，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE=5，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当BP=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（2）①当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE=$\sqrt{D{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$≠AD，故不能构成菱形．
②当BP′=11时，以点P′、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP′=AD=5，
过D作DN⊥BC于N，如图2所示：
由（1）得：DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-（12-4）=3．
∴DP′=$\sqrt{D{N}^{2}+NP{′}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴EP′=DP′，
故此时平行四边形P′DAE是菱形，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要进行分类讨论．