Question

4．在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5$\sqrt{2}$，BC=5$\sqrt{6}$，CD⊥AB于点D．
（1）求CD的长；
（2）若以AC边为对称轴，作△ABC的对称图形，得到△AB′C，点B与B′为对应点，求△AB′B的面积．

Answer 1

分析 （1）根据CD⊥AB，∠B=30°，可得Rt△BCD中，CD=$\frac{1}{2}$BC；
（2）根据轴对称变换，得到点B'的位置，进而得到△AB′C，根据△ABB'为等腰三角形，即可得到△AB′B的面积．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，BC=5$\sqrt{6}$，∠B=30°，
∴Rt△BCD中，CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}\sqrt{6}$；
（2）如图所示，△AB′C即为所求；

由轴对称的性质可得，B'C=BC=5$\sqrt{6}$，∠BCB'=180°，
∴BB'=10$\sqrt{6}$，
∴△AB′B的面积=$\frac{1}{2}$BB'×AC=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{6}$×5$\sqrt{2}$=50$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，含30°角直角三角形的性质以及三角形面积的计算，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．