Question

12．如图，已知AB，CD相交于点O，F是AC的中点，OA=OC，∠1=∠2，求证：
（1）OB=OD；
（2）AC∥BD．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件证明△AFB≌△CFD，得到FB=FD，利用等边对等角得到∠FDB=∠FBD，再证明∠ODB=∠OBD，即可得到OB=OD．
（2）根据三角形的内角和为180°，对顶角相等，得到∠ODB+∠OBD=∠A+∠C，由∠A=∠C，∠ODB=∠OBD，即可得到∠ODB=∠C，所以AC∥BD．

解答 解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFB和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠1=∠2}\\{AF=CF}\end{array}\right.$
∴△AFB≌△CFD，
∴FB=FD，
∴∠FDB=∠FBD，
∵∠1=∠2，
∴∠FDB-∠1=∠FBD-∠2，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OB=OD．
（2）∵∠ODB+∠OBD+∠BOD=180°，∠A+∠C+∠COA=180°，∠BOD=∠COA，
∴∠ODB+∠OBD=∠A+∠C，
∵∠A=∠C，∠ODB=∠OBD，
∴2∠ODB=2∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴AC∥BD．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的根据是证明△AFB≌△CFD，得到相等的边．