Question

某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱的售价在40元～70元之间．市场调查发现：若每箱50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式（注明自变量x的取值范围）；（2）求出超市平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式（每箱的利润=售价-进价）；
（3）请把（2）中所求出的二次函数配方成w=a(x+

b

2a

)2+

4ac-b2

4a

的形式，并指出当x=40、70时，W的值．
（4）在坐标系中画出（2）中二次函数的图象，请你观察图象说明：当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）先分类：当40≤x≤50，y=90+3（50-x）；当50＜x≤70，y=90-3（x-50），综合得到y=-3x+240（40≤x≤70）；
（2）平根据均每天销售这种牛奶的利润等于每箱的利润×销售量得到W=（x-40）•y，把y=-3x+240代入整理即可；
（3）把W=-3x²+360x-9600配成顶点式为W=-3（x-60）²+1200，则可确定顶点坐标；把x=40和70分别代入计算，求出对应的W的值；然后根据x的范围画草图；
（4）观察图象，找到顶点即可知道当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大，最大利润为多少．

解答：解：（1）当40≤x≤50，y=90+3（50-x）=-3x+240；
当50＜x≤70，y=90-3（x-50）=-3x+240，
∴平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式为：y=-3x+240（40≤x≤70）；

（2）W=（x-40）•y
=（x-40）（-3x+240）
=-3x²+360x-9600，
∴平均每天销售这种牛奶的利润W（元），与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式为W=-3x²+360x-9600（40≤x≤70）；

（3）W=-3x²+360x-9600
=-3（x-60）²+1200，
∴顶点坐标为（60，1200）；
当x=40时，W=-3（40-60）²+1200=0；
当x=70时，W=-3（70-60）²+1200=900；
图象为：

（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为60元时，平均每天的利润最大．最大利润为1200元．

点评：本题考查了二次函数的应用：先把二次函数关系式变形成顶点式：y=a（x-k）²+h，当a＜0，x=k时，y有最大值h；当a＞0，x=k时，y有最小值h．也考查了利润的含义．