Question

17．在?ABCD中，AB=12，AD=16，∠ABC=60°，点E是AB的中点，EF⊥AB交BC于F，连接DF，则DF的长为4$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 首先延长DC，EF相交于点H．由在?ABCD中，AB=12，AD=16，可求得CD，BC的长，又由EF⊥AB，∠ABC=60°，求得∠BFE=∠CFH=30°，然后由含30°的直角三角形的性质，求得BF，FC，CH，FH的长，然后由勾股定理求得DF的长．

解答 解：延长DC，EF相交于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD=12，AD=BC=16，
∵EF⊥AB，
∴∠B=∠FCH=60°，∠BEF=∠H=90°，
∴∠BFE=∠CFH=30°，
∵E是AB的中点，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=6．
∴BF=2BE=12，
∴CF=BC-BF=4，
∴CH=$\frac{1}{2}$CF=2，
∴FH=$\sqrt{C{F}^{2}-C{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，DH=CD+CH=14，
∴DF=$\sqrt{D{H}^{2}+F{H}^{2}}$=4$\sqrt{13}$．
故答案为：4$\sqrt{13}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是关键．