Question

已知一组数据x₁，x₂，…，x_n的方差是a，则数据x₁-4，x₂-4，…，x_n-4的方差是

a

；数据 3x₁，3x₂，…，3x_n的方差是

9a

．

Answer 1

分析：首先设原数据的平均数为

.

x

，则新数据的平均数为

.

x

-4和3

.

x

，然后利用方差的公式计算即可得到答案．

解答：解：由题意知，原数据的平均数为

.

x

，新数据的每一个数都减去了4，则平均数变为

.

x

-4，
∵S₁²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=a，
∴S₂²=

1

n

[（x₁-4-

.

x

-4）²+（x₂-4-

.

x

-4）²+…+（x_n-4-

.

x

-4）²]
=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=a，
所以方差不变．
原数据的平均数为

.

x

，新数据的每一个数都乘以了3，则平均数变为3

.

x

，
∵S₁²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=a，
∴S₂²=

1

n

[（3x₁-3

.

x

）²+（3x₂-3

.

x

）²+…+（3x_n-3

.

x

）²]
=9×

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]
=9a，
故答案为：a，9a．

点评：本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．