Question

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O切于点C，OD⊥AB，已知tanA=

1

3

，则sinD的值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OC，BC，作CH⊥AB于H，根据切线的性质得OC⊥CD，则∠D+∠2=90°，由OD⊥AB得到∠2+∠1=90°，所以∠1=∠D，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，利用正切的定义得到tan∠A=

BC

AC

=

1

3

，设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理计算出AB=

10

x，再利用面积法计算出CH=

3 10

10

x，在Rt△OCH中，根据正弦的定义求解．

解答：解：连结OC，BC，作CH⊥AB于H，如图，
∵CD与⊙O切于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠D+∠2=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠D，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠A=

BC

AC

=

1

3

，
设BC=x，则AC=3x，
∴AB=

AC2+BC2

=

10

x，
∴OC=

1

2

AB=

10

2

x，
∵

1

2

CH•AB=

1

2

AC•BC，
∴CH=

3x•x

10 x

=

3 10

10

x，
在Rt△OCH中，sin∠1=

CH

OC

=

3 10 x 10

10 x 2

=

3

5

，
∴sinD=

3

5

．
故答案为

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、勾股定理和锐角三角函数．