Question

1．在菱形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，AC是对角线，∠B=60°，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠EAF=60°，AE与DC的延长线交于点M，AF与BC的延长线交于点N．
（1）如图1，若点E为BC边上的中点．
①求证：△ACM≌△ACN；
②CM•NC的值是12．
（2）如图2，若点E为BC边上的任意点（不与点B，C重合），请说明CM•NC是一个定值．

Answer 1

分析 （1）①由全等三角形的判定定理ASA证得结论；
②根据等腰三角形的判定得到CM=CA=2$\sqrt{3}$，结合①中全等三角形的性质得到CM=CN；
（2）由相似三角形△ACM∽△NCA的对应边成比例得到CM•NC=AC²=（2$\sqrt{3}$）²=12，即CM•NC是一个定值．

解答 （1）①证明，∵AC是菱形ABCD的对角线，∠B=60°，点E为BC边上的中点，
∴∠MAC=∠NAC=30°，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠ACM=∠ACN=120°．
在△ACM与△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠NAC}\\{AC=AC}\\{∠ACM=∠ACN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△ACN（ASA）；
②解：∵∠MAC=30°，∠ACM=120°，
∴∠AMC=30°，
∴CM=CA=2$\sqrt{3}$，
∵△ACM≌△ACN，
∴CM=CN，
∴CM•NC=CM²=12．
故答案是：12；
（2）证明：∵∠EAF=60°，即∠MAC+∠NAC=60°．
又∠ACD=60°，
∴∠MAC+∠AMC=60°，
∴∠AMC=∠NAC．
又∠ACM=∠ACN=120°，
∴△ACM∽△NCA，
∴$\frac{AC}{NC}$=$\frac{CM}{CA}$，
由题意可知，△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2$\sqrt{3}$，
∴CM•NC=AC²=（2$\sqrt{3}$）²=12，即CM•NC是一个定值．

点评 本题综合考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．