Question

1．如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点P，Q分别从B，C两点同时出发匀速运动，其中点P以每秒1个单位的速度沿BC方向向点C运动，点Q以每秒2个单位的速度沿CA、AB方向运动，当点P到达C点时，点Q停止运动，假设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段PC、CQ的长，PC=4-t_，CQ=_2t或$\sqrt{{4}^{2}+（8-2t）^{2}}$；
（2）定义：到三角形两个顶点距离相等的点称为三角形的准外心．
①若点P为△ABC的准外心，试求CP的长；
②是否存在点P，使点P是△PCQ的准外心？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）PC=4-t，CQ分两种情形求解即可；
（2）①当P是BC中点时，点P是△ABC的准外心，此时PC=2．当PA=PB时，设PA=PC=x，在Rt△ABP中，根据PA²=AB²+PB²，列出方程即可解决问题；
②如图当P是△PQC的准外心，只有PQ=PC，此时点Q在线段AC上，作PE⊥AC于E．根据cos∠C=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）PC=4-t，
当0＜t≤2.5时，CQ=2t，
当t＞2.5时，CQ=$\sqrt{{4}^{2}+（8-2t）^{2}}$．
故答案为4-t，2t或$\sqrt{{4}^{2}+（8-2t）^{2}}$．

（2）①当P是BC中点时，点P是△ABC的准外心，此时t=2．

当PA=PB时，设PA=PC=x，
在Rt△ABP中，∵PA²=AB²+PB²，
∴x²=3²+（4-x）²．
∴x=$\frac{25}{8}$，
综上所述，CP=2或CP=$\frac{25}{8}$

②如图当P是△PQC的准外心，只有PQ=PC，此时点Q在线段AC上，作PE⊥AC于E．

∵cos∠C=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{16}{9}$，
∴PQ=PC=BC-PB=4-$\frac{16}{9}$=$\frac{20}{9}$．

点评 本题考查三角形综合题、勾股定理、准外心的定义，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．