Question

19．如图：在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③△BEH≌△HDF；④BC-CF=2EH；⑤AB=FH．其中正确的结论有（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 先证明△ABE和△ADH等腰直角三角形，得出AD=AE，AB=AH=DH=DC，得出∠ADE=∠AED，即可得出①正确；先证出OE=OH，同理：OD=OH，得出OE=OD，②正确；由ASA证出△BEH≌△HDF，得出③正确；过H作HK⊥BC于K，可知KC=$\frac{1}{2}$BC，HK=KE，得出$\frac{1}{2}$BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE，得出④正确；由AB=AH，∠BAE=45°，得出△ABH不是等边三角形，AB≠BH，即AB≠HF，故⑤错误．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAH=45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，AD=$\sqrt{2}$AH，
∵AD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AH，
∴AD=AE，AB=AH=DH=DC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=∠CED，
∴①正确；
∵∠DAH=∠ADH=45°，
∴∠ADE=∠AED=67.5°，
∵∠BAE=45°，
∴∠AHB=∠ABH=67.5°，
∴∠OHE=67.5°，
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
同理：OD=OH，
∴OE=OD，
∴②正确；
∵∠ABH=∠AHB=67.5°，
∴∠HBE=∠FHD，
在△BEH和△HDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HEB=∠FDH=45°}&{\;}\\{BE=DH}&{\;}\\{∠HBE=∠FHD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴③正确；
BC-CF=2HE正确，过H作HK⊥BC于K，
可知KC=$\frac{1}{2}$BC，HK=KE，
由上知HE=EC，
∴$\frac{1}{2}$BC=KE十Ec，
又KE=HK=$\frac{1}{2}$FC，HE=EC，
故$\frac{1}{2}$BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE
∴④正确；
⑤∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤不正确；
故选：B．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．