Question

【题目】如图，抛物线y＝a（x﹣）（x+3）交x轴于点A、B，交y轴于点C，tan∠CAO＝．

（1）求a值；

（2）点P为第一象限内抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接PA，PC，设△PAC的面积为S，求S与t之间的关系式；

（3）在（2）的条件下，点Q在第一象限内的抛物线上（点Q在点P的上方），过点P作PE⊥AB，垂足为E，点D在线段AQ上，点F在线段AO上连接ED、DF，DE交AP于点G，若∠QDF+∠QDE＝180°，∠DFA+∠AED＝90°，PG＝PE，PG：EF＝3：2，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣；（2）S＝t2+t；（3）点P（1，3）

【解析】

（1）由题意可求点A，点B坐标，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解a的值；

（2）点P(t，﹣t2﹣t+4)，由面积关系可求解；

（3）如图3，延长AQ，EP交于点H，连接GF，由四点共圆可证点A，点D，点G，点F四点共圆，可得∠ADF＝∠AGF，∠QDE＝∠AFG，设PG＝PE＝3a，EF＝2a，由勾股定理可求a＝，可求点P坐标，代入解析式可求解．

解：（1）∵抛物线y＝a(x﹣)(x+3)交x轴于点A、B，

∴0＝a(x﹣)(x+3)

∴x1＝，x2＝﹣3，

∴点A(﹣3，0)，点B(，0)，

∴AO＝3，

∵tan∠CAO＝＝，

∴CO＝4，

∴点C(0，4)

∴4＝a(0﹣)(0+3)，

∴a＝﹣

（2）∵y＝﹣(x﹣)(x+3)

∴y＝﹣x2﹣x+4，

∵点P的横坐标为t，

∴点P(t，﹣t2﹣t+4)，

∴S＝ [4+(﹣t2﹣x+4)]t+×3×4﹣×(t+3)(﹣t2﹣t+4)＝t2+t；

（3）如图3，延长AQ，EP交于点H，连接GF，

∵∠QDF+∠QDE＝180°，且∠QDE+∠ADE＝180°，

∴∠ADE＝∠QDF，

∴∠ADF＝∠QDE，

∵∠DFA+∠AED＝90°，∠AED+∠DEP＝90°，

∴∠AFD＝∠DEP，

∴∠HAE＝∠AHE，且HE⊥AE，

∴∠HAE＝∠AHE＝45°，

∴AE＝EH＝t+3，

∵PE＝PG，

∴∠PGE＝∠PEG，

∴∠PGE＝∠AFD＝∠AGD，

∴点A，点D，点G，点F四点共圆，

∴∠ADF＝∠AGF，∠QDE＝∠AFG，

∴∠AGF＝∠AFG，

∴AF＝AG，

设PG＝PE＝3a，EF＝2a，

∴AF＝t+3﹣2a＝AG，AP＝t+3﹣2a+3a＝t+3+a，

∵AP2＝PE2+AE2，

∴(t+3+a)2＝9a2+(t+3)2，

∴a＝，

∴3a＝

∴点P(t，)

∴＝﹣t2﹣t+4，

∴t＝1，t＝﹣3（不合题意舍去）

∴点P(1，3)