Question

已知点O是边长为2的正方形ABCD的中心，动点E、F分别在边AB、AD上移动（含端点）．
（1）如图1，若∠EOF=90°，试证：OE=OF；
（2）如图2，当∠EOF=45°时，设BE=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在满足（2）的条件时，试探究直线EF与正方形ABCD的内切圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由∠AOD-∠AOF=∠EOF-∠AOF证明△AOE≌△DOF后即可证得OE=OF．
（2）易证得△BEO∽△DOF，利用线段比求出OB的值．
（3）由（2）的结论证△BEO∽△OEF，可得EF与⊙O相切．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠EAO=∠FDO=45°，AO=OD，∠AOD=90°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOD-∠AOF=∠EOF-∠AOF，即∠AOE=∠DOF．
在△AOE和△DOF中

∠EAO=∠FDO AO=DO ∠AOE=∠DOF

，
∴△AOE≌△DOF．（ASA）
∴OE=OF．

（2）解：在△BEO和△DOF中，
∠EOB+∠BEO=∠EOB+∠DOF=135°，
∴∠BEO=∠DOF．
又∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BEO∽△DOF．
∴

BE

DO

=

BO

DF

．
∵BE=x，DF=y，OB=OD=

1

2

22+22

=

2

，
∴

x

2

=

2

y

，
∴y=

2

x

(1≤x≤2)．

（3）解：EF与⊙O相切
证明：∵△BEO∽△DOF，
∴

BE

DO

=

OE

OF

．
又DO=OB，
∴

BE

BO

=

OE

OF

．
∵∠EBO=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF．
∴∠BEO=∠OEF．
∴点O到AB的距离等于点O到EF的距离．
∵AB与⊙O相切，
∴点O到EF的距离等于半径R．
∴EF与⊙O相切．

点评：本题考查了相似三角形，勾股定理以及全等三角形判定等有关知识点，难度中上．