Question

11．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表

x	-1	0	1	3
y	-1	3	5	3

下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③当x=2时，y=5；④3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；
其中正确的有①③④．（填正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的解析式逐一分析四条结论的正误即可得出结论．

解答 解：将（-1，-1）、（0，3）、（1，5）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{-1=a-b+c}\\{3=c}\\{5=a+b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-x²+3x+3．
①ac=-1×3=-3＜0，
∴结论①符合题意；
②∵y=-x²+3x+3=-$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{21}{4}$，
∴当x＞$\frac{3}{2}$时，y的值随x值的增大而减小，
∴结论②不符合题意；
③当x=2时，y=-2²+3×2+3=5，
∴结论③符合题意；
④ax²+（b-1）x+c=-x²+2x+3=（x+1）（-x+3）=0，
∴x=3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根，
∴结论④符合题意．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．