Question

如图1，Rt△AOB中OA=OB=6，以O为圆心作一半径为3的圆，点C为⊙O上一动点，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D，∠COD绕圆心O旋转．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为

 

；
（2）连接AD，当OC∥AD时，如图2，求证：直线BC为⊙O的切线；
（3）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：代数几何综合题,动点型,数形结合,分类讨论

分析：（1）利用C点位置不同分类讨论得出当OC∥AB时求出∠BOC的度数；
（2）首先得出△BOC≌△AOD（SAS），进而得出OC⊥BC，即可得出答案；
（3）利用当点C在⊙O上运动到∠AOB的平分线OE的反向延长线与⊙O的交点位置C时，△ABC的面积最大，进而求出即可．

解答：（1）解：∵Rt△AOB中OA=OB=6，
∴∠OBA=∠A=45°，
当C点在OB左侧，AO上面时，当OC∥AB时，∠ABO=∠BOC，则∠BOC的度数为45°，
当C点在OB右侧，AO下面时，当OC∥AB时，∠BOC的度数为：90°+45°=135°，
故答案为：45°或135°；

（2）证明：如图2，∵OC∥AD，∠AOB=90°
∴∠ADO=∠COD=∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△BOC和△AOD中，

OC=OD ∠BOC=∠AOD BO=AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线；

（3）解：当点C在⊙O上运动到∠AOB的平分线OE的反向延长线与⊙O的交点位置C时，
△ABC的面积最大，（如图3）
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=

2

 OA=6

2

，
∴OE=AB=3

2

，OC=3
∴CE=OC+CE=3+3

2

，
△ABC的面积=CE•AB=

1

2

×（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18．
∴△ABC的面积最大值为：9

2

+18．

点评：此题主要考查了圆的综合以及等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合分类讨论得出是解题关键．