Question

阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁴-1
即S=2²⁰¹⁴-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴-1
请你仿照此法计算：
（1）填空：1+2+2²+2³=

 

．
（2）求1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰的值．
（3）求1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m的值．（其中n为正整数）

Answer 1

考点：有理数的乘方

专题：阅读型

分析：（1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；
（2）根据阅读材料，设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，再乘以2，然后相减即可得解；
（3）根据阅读材料，设S=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m，然后两边乘以

1

3

，相减系数化为1即可得解．

解答：解：（1）1+2+2²+2³=1+2+4+8=15；
故答案为：15；

（2）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，
等式两边同时乘以2得，2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，
两式相减得，S=2¹¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹-1；

（3）设S=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m，
等式两边同时乘以

1

3

得，

1

3

S=

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m+1，
两式相减得，

2

3

S=（

1

3

）^m+1-1，
S=

3

2

（

1

3

）^m+1-

3

2

，
即1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+…+（

1

3

）^m=

3

2

（

1

3

）^m+1-

3

2

．

点评：本题考查了有理数的乘方，主要利用了等比数列的求和方法，读懂题目信息是解题的关键．