Question

18．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（　　）

• A． CM=BC
• B． CB=$\frac{1}{2}$AB
• C． ∠ACM=30°
• D． CH•AB=AC•BC

Answer 1

分析 由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB²=AC²+BC²；由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易证得△ACH∽△CHB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得CH²=AH•HB；由△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB上中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=$\frac{1}{2}$AB．

解答 解：△ABC中，∠ACB=90°，CM分别是斜边AB上的中线，可得：CM=AM=MB，但不能得出CM=BC，故A错误；
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=$\frac{1}{2}$AB，但不能得出CB=$\frac{1}{2}$AB，故B错误；
△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，无法得出∠ACM=30°，故C错误；
由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB²=AC²+BC²；由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易证得△ACH∽△CHB，根据相似三角形的对应边成比例得出CH•AB=AC•BC，故D正确；
故选D

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．注意证得△ACH∽△CHB是关键．