Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，$\frac{5}{2}$），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为n．当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含n的代数式表示线段PM的长度；
（3）点P是x轴正半轴上的一动点，连接OM，BN，当n为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

Answer 1

分析 （1）将A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）先求得直线AB的解析式，然后设点P的坐标为（n，0）．将x=n代入y=$\frac{1}{2}x$+1得：y=$\frac{1}{2}n+1$，从而可得到PM的长；
（3）当当BC=MN时，四边形BCMN为平行四边形，设点P的坐标为（n，0）则PN=-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{17}{4}$n+1．最后由MN=$\frac{5}{2}$列出关于n的方程，从而可解得n的值．

解答 解：（1）∵将点A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-\frac{45}{4}+3b+1=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：c=1，b=$\frac{17}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵将点A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}x$+1．
设点P的坐标为（n，0）．
∵将x=n代入y=$\frac{1}{2}x$+1得：y=$\frac{1}{2}n+1$，
∴PM=$\frac{1}{2}n+1$．
（3）∵BC∥MN，
∴当BC=MN时，四边形BCMN为平行四边形．
设点P的坐标为（n，0）则PN=-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{17}{4}$n+1．
当点P在线段OC上时，MN=PN-PM，
∴-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{17}{4}$n+1-（$\frac{1}{2}n+1$）=$\frac{5}{2}$．
整理得：n²-3n+2=0．
解得：n₁=1，n₂=2．
当点P在OC的延长线上时，MN=PM-PN．
∴（$\frac{1}{2}n+1$）+$\frac{5}{4}$n²-$\frac{17}{4}$n-1=$\frac{5}{2}$．
整理得：n²-3n-2=0，
解得：n=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，n=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（舍去）
∴当n=1或n=2或n=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$时，四边形BCMN为平行四边形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、平行四边形的判定，用含n的式子表示出PN和PM的长，并列出关于n的方程是解题的关键．