Question

13．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE的中点，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用弧的中点的定义及弧相等，则所对的圆周角相等得：∠ABD=∠CBE，根据等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函数得出结论．

解答 解：连接BE、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠ECB+∠CBE=90°，∠ABD+∠DAB=90°，
∵D为$\widehat{AE}$的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ABD=∠CBE，
∴∠ECB=∠DAB，
在Rt△ADB中，∵BD=4，AB=5，
∴sin∠DAB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠ECB=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理和解直角三角形，掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．这两个性质在圆的证明题中经常运用，要熟练掌握．