Question

【题目】我们定义：对于抛物线y，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们称抛物线y′为抛物线y关于点M(0，m)的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．

(1)求抛物线y=x2-2关于原点O(0，0)的衍生抛物线的解析式．

(2)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)

①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2-2bx+a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；……；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为yn，其顶点为An…(n为正整数)．求AnAn+1的长(用含n的式子表示)．

Answer 1

【答案】（1）y'=-x2+2；（2）①a=3，b=-3，衍生中心的坐标为(0，6)；②AnAn+1= 4n+2．

【解析】

（1）根据抛物线对称性质可知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和衍生抛物线中y'的a值互为相反数，由中心对称可由已知抛物线y=x2-2的顶点坐标(0，-2)求出衍生抛物线的顶点坐标(0，2)即可得到衍生抛物线的解析式．

（2）①求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别代入抛物线解析式中，即可求出a，b的值，即可得出结论；②求出抛物线顶点关于(0，k+n2)和(0，k+(n+1)2)的对称点坐标，即可得出结论．

解：（1）∵抛物线y=x2-2的顶点为(0，-2)，

∴抛物线的顶点坐标(0，-2)关于原点(0，0)的对称点为(0，2)，

∴衍生抛物线的顶点坐标为(0，2)，

∵衍生抛物线开口大小不变，方向改变，故二次项系数为原二次项系数互为相反数，

∴衍生抛物线的解析式为：y'=-x2+2．

（2）①抛物线y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b，

∴此抛物线的顶点坐标为(-1，-a-b)，

∵抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2-2bx+a2=b(x-1)2+a2-b，

∴此函数的顶点坐标为(1，a2-b)，

∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，

∴，

∴a=0(舍)或a=3，

∴b=-3，

∴抛物线y的顶点坐标为(-1，0)，抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为(1，12)，

∵衍生中心为两顶点连线的中点，

∴衍生中心的坐标为(0，6)；

②抛物线y=ax2+2ax-b的顶点坐标为(-1，-a-b)，

∵点(-1，-a-b)关于点(0，k+n2)的对称点为(1，a+b+2k+2n2)，

∴抛物线yn的顶点坐标An为(1，a+b+2k+2n2)，

同理：An+1(1，a+b+2k+2(n+1)2)，

∴AnAn+1=a+b+2k+2(n+1)2-(a+b+2k+2n2)=4n+2．