Question

10．已知f（x）=$\frac{1}{x（x+1）}$，则f（1）=$\frac{1}{1×（1+1）}$=$\frac{1}{1×2}$，f（2）=$\frac{1}{2×（2+1）}$=$\frac{1}{2×3}$…，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）（n＞3）的值．

Answer 1

分析 f（1）=1-$\frac{1}{2}$，f（2）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，…f（n）=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．由此规律进行解答．

解答 解：∵f（1）=$\frac{1}{1×（1+1）}$=$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
f（2）=$\frac{1}{2×（2+1）}$=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
…
f（n）=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了分式的化简求值．解答该题的关键是得到f（n）=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．