Question

【题目】如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④．其中一定成立的是（　　）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①易证△CDE≌△CDF，得CE＝CF；

②∠ACB+∠ACE＝180°，根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，所以∠ACB＝∠EDF；

③无法证明DE是切线；

④根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE＝∠DAB，所以∠DAB＝∠DCA，根据圆周角定理判断．

解：①∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，

∴△CDE≌△CDF，得CE＝CF．故成立；

②∵∠ACB+∠ACE＝180°，

根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，

∴∠ACB＝∠EDF，故成立；

③连接OD、OC．则∠ODC＝∠OCD．

假如DE是切线，则OD⊥DE，

∵BE⊥DE，

∴OD∥BE，∠DCE＝∠ODC＝∠OCD，

而∠DCE＝∠DCA，∠OCD≠∠DCA，

故DE不是切线；

④连接AD,根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE＝∠DAB，

∴∠DAB＝∠DCA，根据圆周角定理判断弧AD＝弧BD．故成立．

故选：D．