Question

12．已知：直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折弦，且∠APB＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点，如图．

（1）若∠1=33°，∠APB=74°，则∠2=41度．
（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，2间满足的数量关系并说明理由．
（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，2之间满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）图1，过P作PC∥直线a，根据平行线的性质得到∠1=∠APC，∠2=∠BPC，于是得到结论；
（2）如图2，由已知条件得到四边形MQNP是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠MQN=∠P=∠1+∠2，根据平角的定义即可得到结论；
（3）由垂直的定义得到∠QEP=90°，由平行线的性质得到∠QFE=∠P，根据平角的定义得到结论．

解答 解：（1）图1，过P作PC∥直线a，
∴PC∥b，
∴∠1=∠APC，∠2=∠BPC，
∴∠2=∠APB-∠1=41°；
故答案为：41；

（2）如图2，∵QM∥PB，QN∥PA，
∴四边形MQNP是平行四边形，
∴∠MQN=∠P=∠1+∠2，
∴∠EQN=180°-∠MQM=180°-∠1-∠2；
即∠Q=∠1+∠2或，∠Q=180°-∠1-∠2；

（3）∵QE⊥AP，
∴∠QEP=90°，
∵QF∥PB，
∴∠QFE=∠P，
∴∠EQF=90°-∠QFE=90°-∠1-∠2，
∴∠EQG=180°-∠EQF=90°+∠1+∠2．

点评 本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键．