Question

4．如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连结BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连结BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．若S_△ABC=1，则S₂₀₁₀=$\frac{1}{201{1}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质．再利用在△ACB中，D₂为其重心可得D₂E₁=$\frac{1}{3}$BE₁，然后从中找出规律即可解答．

解答 解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=$\frac{1}{2}$BC，CE₁=$\frac{1}{2}$AC，S₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=$\frac{1}{3}$BE₁，
∴D₂E₂=$\frac{1}{3}$BC，CE₂=$\frac{1}{3}$AC，S₂=$\frac{1}{{3}^{2}}$S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：$\frac{2}{3}$D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=$\frac{3}{4}$D₂E₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{4}$BC，CE₃=$\frac{3}{4}$CE₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{4}$AC，S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$S_△ABC…；
∴S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$S_△ABC，
∵S_△ABC=1，
∴S₂₀₁₀=$\frac{1}{201{1}^{2}}$．
故答案为：$\frac{1}{201{1}^{2}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．