Question

5．已知二次函数y=x²+bx-4的图象与y轴交于点C，与x轴的正半轴交于点A，且tan∠ACO=$\frac{1}{4}$．请解答下列问题：
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据tan∠ACO的值，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x²+bx-4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．
（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（-1.5，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的值，进而判断出Q点坐标即可．

解答 解：（1）如图1，连接AC，
，
∵二次函数y=x²+bx-4的图象与y轴的交点为C，
∴C点的坐标为（0，-4），
∵tan∠ACO=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{4}$，
又∵OC=4，
∴OA=1，
∴A点的坐标为（1，0），
把A（1，0）代入y=x²+bx-4，
可得0=1+b-4，
解得b=3，
∴二次函数的解析式是：y=x²+3x-4．

（2）如图2，
，
∵y=x²+3x-4，
∴抛物线的对称轴是：x=-1.5，
∵Q为抛物线对称轴上的一点，
∴设点Q的坐标为（-1.5，n），
∵抛物线的对称轴平行于y轴，
∴∠CQP=∠OCQ，
又∵∠OQC=∠CQP，
∴∠OQC=∠OCQ，
∴OQ=OC，
∴$\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}+{n}^{2}}$=4，
解得n=±$\frac{\sqrt{55}}{2}$，
∴Q点坐标是（-1.5，$\frac{\sqrt{55}}{2}$）或（-1.5，-$\frac{\sqrt{55}}{2}$）．

点评 此题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式的方法，考查了学生分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．