Question

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S，D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₂=CF₁=AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=S，△D₁E₁F₁的面积S₁=S。
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=_______；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=______；
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是 三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=_______；
若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=________。

Answer 1

解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由已知得AD₂=AB，BE₂=BC，CF₂=AC，
∴AF₂=AC，BD₂=AB，
∴AD₂=BE₂，AF₂=BD₂，
△AD₂F₂≌△BE₂D₂，
∴D₂E₂=F₂D₂，
同理可证△AD₂F₂≌△CF₂E₂
F₂D₂=E₂F₂，
∴D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂，
∴△D₂E₂F₂为等边三角形；
②S₂=S；S′₂=S；
（2）由（1）可知：△D_nE_nF_n等边三角形；
由（1）的方法可知：S₂=S，S₃=S，…S_n=S；
S₂′=。