题目内容
如图1,△ABC为等边三角形,面积为1.D、E、F分别是△ABC三边上的点,且AD=BE=CF=1 |
2 |
1 |
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1 |
10 |
分析:由于无论怎么变化,△ADF、△CFE、△BDE都全等,因此△DEF是等边三角形,由于等边三角形都相似,因此△DEF∽△ABC;可根据余弦定理求出△DEF的边长,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出△DEF的面积.
解答:解:当AD=BE=CF=
AB时,BD=CE=AF=
AB,
∵∠A=∠B=∠C,
∴△ADF≌△CFE≌△BED,
∴DF=EF=DE,即△DEF是等边三角形,
∴△DEF∽△ABC,
在△BDE中,BD=
AB,BE=
AB,∠B=60°,
根据余弦定理可得:DE2=BE2+BD2-2BE•BD•cos60°,即DE2=
AB2,
∴S△DEF:S△ABC=DE2:AB2=
,
∵S△ABC=1,
∴S△DEF=Sn=
,
当n=9时,S△DEF=S9=
.
1 |
n+1 |
n |
n+1 |
∵∠A=∠B=∠C,
∴△ADF≌△CFE≌△BED,
∴DF=EF=DE,即△DEF是等边三角形,
∴△DEF∽△ABC,
在△BDE中,BD=
n |
n+1 |
1 |
n+1 |
根据余弦定理可得:DE2=BE2+BD2-2BE•BD•cos60°,即DE2=
n2-n+1 |
(n+1)2 |
∴S△DEF:S△ABC=DE2:AB2=
n2-n+1 |
(n+1)2 |
∵S△ABC=1,
∴S△DEF=Sn=
n2-n+1 |
(n+1)2 |
当n=9时,S△DEF=S9=
73 |
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点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质等知识.综合性较强,难度较大.
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