题目内容

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
1
2
AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=
1
4
S，△D1E1F1的面积S1=
1
4
S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
1
3
AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=
 
；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=
 
．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB时，（n为正整数）△DnEnFn是
 
三角形；
若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=
 
；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n=
 
．
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分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边三角形．
（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．
解答：解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD2=
1
3
AB，BE2=
1
3
BC，CF2=
1
3
AC
∴AF2=
2
3
AC，BD2=
2
3
AB
∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2=F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D2=E2F2（4分）
∴D2E2=E2F2=F2D2
∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）
②S2=
2
9
S；（6分）
S′2=S-
2
9
S×3=
1
3
S（7分）

（2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：S2=
2
9
S，S3=
3
16
S，…Sn=
n
(n+1)2
S；（9分）
S2′=
1
3
S，S3′=
7
16
S…Sn′=
n2-n+1
n2+2n+1
S．（10分）
点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．
练习册系列答案
相关题目
如图1，△ABC为等边三角形，面积为1．D、E、F分别是△ABC三边上的点，且AD=BE=CF=
1
2
AB，连接DE，EF，FD，可得△DEF，并记△DEF的面积为S1；当AD=BE=CF=
1
3
AB时，如图2，并记△DEF的面积为S2；按照上述思路探索下去，当AD=BE=CF=
1
10
AB时，△DEF的面积S9=
 
．
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（2013•南平模拟）在△ABC中，D为AC的中点，将△ABD绕点D顺时针旋转α°（0＜α＜360）得到△DEF，连接BE、CF．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BE与CF有何数量关系？证明你的结论﹔
（2）若△ABC为等边三角形，当α的值为多少时，ED∥AB？
（3）若△ABC不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立．（不必证明，不再添加其它的字母和线段）
已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．
探索题
（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，D为AC上一点，以BD为一边作等边△DBE，连接AE，试确定AC、AD、AE之间的关系并证明你的猜想．
（2）如果D为AC延长线上一点，如图2，试确定AC、AD、AE之间的关系，并证明你的猜想．

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