Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（3π﹣）cm2

【解析】

（1）由等腰三角形的性质证出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论；

（2）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．

（1）连接OD，如图1所示：

∵OD＝OB，

∴∠B＝∠ODB．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∴∠ODB＝∠C．

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线．

（2）过O作OF⊥BD于F，如图2所示：

∵∠C＝30°，AB＝AC，OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°，

∴∠BOD＝120°，

在Rt△DFO中，∠FDO＝30°，

∴OF＝OD＝cm，

∴DF＝＝cm，

∴BD＝2DF＝3cm，

∴S△BOD＝×BD×OF＝×3×＝cm2，

S扇形BOD＝＝3πcm2，

∴S阴＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣）cm2．