Question

2．如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，AB=2$\sqrt{3}$，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=2OE•sin∠EOH=2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=$\frac{1}{2}$∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH，即可求出答案．

解答 解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=BD=$\sqrt{6}$，即此时圆的半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由圆周角定理可知∠EOH=$\frac{1}{2}$∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
由垂径定理可知EF=2EH=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．