Question

20．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，折叠正方形使点A与E重合，折痕为MN，若梯形ADMN的面积是$\frac{3}{2}$，则正方形的边长是2；梯形ADMN与梯形BCMN的面积之比是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 连接MA，ME，由翻折可得，AN=NE，AM=EM，设AB=AD=2x，AN=a，在Rt△BEN中，a²=（2x-a）²+x²，解得：a=$\frac{5}{4}$x，在Rt△ADM和Rt△EMC中，CM=2x-b，由勾股定理得出方程（2x-b）²+x²=（2x）²+b²，解得：DM=b=$\frac{1}{4}$x，由梯形ADMN的面积求出x=1，得出AB=2；因为两个梯形的高相等，所以面积比即为边长（DM+AN）与（BN+CM）的比，即可得出结果．

解答 解：连接MA，ME，如图所示：
由翻折可得，AN=NE，AM=EM，
设AB=AD=2x，AN=a，
在Rt△BEN中，a²=（2x-a）²+x²，
解得：a=$\frac{5}{4}$x，
在Rt△ADM，设DM=b，则AM²=（2x）²+b²，
在Rt△EMC中，CM=2x-b，则EM²=（2x-b）²+x²，
∴（2x-b）²+x²=（2x）²+b²，
解得：DM=b=$\frac{1}{4}$x，
∵梯形ADMN的面积=$\frac{1}{2}$（DM+AN）•AD=$\frac{3}{2}$
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{4}$x）•2x=$\frac{3}{2}$，
解得：x=±1（负值舍去），
∴x=1，
∴AB=2，DM=$\frac{1}{4}$，AN=$\frac{5}{4}$，BN=$\frac{3}{4}$，CM=$\frac{7}{4}$，
梯形ADMN与梯形BCMN的面积之比=$\frac{DM+AN}{BN+CM}$═$\frac{\frac{1}{4}+\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}+\frac{7}{4}}$=$\frac{3}{5}$；
故答案为：2；$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．