Question

12．如图所示，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求四边形APBC的面积；
（3）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得其抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标，过P作PM⊥x轴于点M，则可分别求得△PAB和△ABC的面积，则可求得四边形APBC的面积；
（3）过点D作DE∥y轴，交直线AC于点E，由A、C两点可求得直线AC解析式，可设出点D坐标，则可表示出E点坐标，则可表示出DE的长，可表示出△ADC的面积，根据二次函数的性质可求得其最大值时的D点的坐标．

解答 解：
（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x-2$；
（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，

∵顶点$P（\frac{5}{2}，\frac{9}{8}）$，
∴$PM=\frac{9}{8}$，
∵A（4，0），B（1，0），
∴AB=4-1=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3，S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•PM=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{8}$=$\frac{27}{16}$，
∴S_{四边形APBC}=S_△ABC+S_△PAB=3+$\frac{27}{16}$=$\frac{75}{16}$；
（3）如图2，过D作y轴的平行线交AC于E，

设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为$-\frac{1}{2}{t^2}+\frac{5}{2}t-2$，
设直线AC解析式为y=kx+m，
∵A（4，0），C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-2），
∵D在直线AC上方，
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∵-1＜0，
∴当t=2时，△DAC面积最大，
∴D（2，1）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识点．在（1）中掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键，在（2）中把四边形APBC分成两个三角形是解题的关键，在（3）中用D点坐标表示出△DAC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．