Question

8．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕．
（1）求证：∠CDF=∠DEB；
（2）求sin∠BED的值；
（3）求$\frac{DE}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得到∠A=∠B=45°，根据折叠的性质得到∠EDF=∠A=45°根据角的和差即可得到∠CDF=∠DEB；
（2）设CD=BD=a，AF=FD=x，则AC=2a，FC=2a-x，在R_t△CDF中，根据勾股定理求得x=$\frac{5}{4}$a，于是求得sin∠BED=sin∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=$\frac{3}{5}$；
（3）过D作DM⊥AB与M，得到△DBM是等腰直角三角形，求得DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，由sin∠BED=$\frac{DM}{EM}$=$\frac{3}{5}$，得到DE=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$a，于是得到结论．

解答 解：（1）∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∵将△ABC折叠，使点A与点D重合，
∴∠EDF=∠A=45°，
∵∠CDE=∠DEB+∠B，
∴∠CDF+∠EDF=∠DEB+∠B，
∴∠CDF=∠DEB；

（2）设CD=BD=a，AF=FD=x，则AC=2a，FC=2a-x，
在R_t△CDF中，CF²+CD²=DF²，
即x²=（2a-x）²+a²，
解得：x=$\frac{5}{4}$a，
∴sin∠BED=sin∠CDF=$\frac{CF}{DF}$=$\frac{3}{5}$；

（3）过D作DM⊥AB与M，
∴△DBM是等腰直角三角形，
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵sin∠BED=$\frac{DM}{DE}$=$\frac{3}{5}$，
∴DE=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$a，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{6}a}{\frac{5}{4}a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．