Question

9．已知m，n是有理数，方程x²+mx+n=0有一个根是$\sqrt{5}$-2，则m=4，n=-1．

Answer 1

分析 当m，n为有理数时，由求根公式可知，方程x²+mx+n=0的一个根-2+$\sqrt{5}$，则另一根为-2-$\sqrt{5}$，根据两根关系可求m，n的值．

解答 解：由m，n是有理数，且方程x²+mx+n=0有一个根-2+$\sqrt{5}$，是一个无理数；
可知另一根必是已知根的有理化因式即-2-$\sqrt{5}$．
由根与系数的关系，得
$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{5}-2）+（\sqrt{5}+2）=-m}\\{（\sqrt{5}-2）（\sqrt{5}+2）=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
故答案是：4；-1．

点评 本题主要考查根与系数的关系及系数为有理数时，无理根“成对”出现的原则：x₁=a+$\sqrt{b}$，x₂=a-$\sqrt{b}$．