Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx+n与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点B（-3，-2），D（2，-3），连结OA、OD、DC、AC，四边形AODC为菱形．
（1）求两函数的关系式．
（2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数值不小于一次函数值．
（3）设点P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质确定点A的坐标为（2，3），运用待定系数法求出反比例函数、一次函数的关系式；
（2）观察图象写出反比例函数值不小于一次函数值时x的取值范围；
（3）根据菱形的面积公式求出菱形OACD的面积，求出OP的长，得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵点B（-3，-2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=（-3）×（-2）=6，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{6}{x}$，
∵四边形AODC为菱形，D（2，-3），
∴点A的坐标为（2，3），
$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=3}\\{-3m+n=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）由图象可知，0＜x≤2 或 x≤-3时，反比例函数值不小于一次函数值；
（3）由题意得，OC=4，AD=6，
∴菱形OACD的面积为$\frac{1}{2}$×4×6=12，
设OP为h，
$\frac{1}{2}$×h×2=12，
∴h=12，
∴P（0，±12）．
答：点P的坐标为（0，12），（0，-12）．

点评 本题考查的是待定系数法求反比例函数、一次函数的关系式，菱形的性质，掌握待定系数法的一般步骤、理解菱形的四条边相等以及面积公式是解题的关键．