Question

我们知道完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²，两式相减得：
（a+b）²-（a-b）²=4ab，因此，两个数的积可以化成两个数的和差的平方的差来计算．即：ab=

1

4

[（a+b）²-（a-b）²]．请利用这一性质完成下列问题．
（1）计算：203×197-201×199
（2）已知x，y，z满足x=10-y，xy-25-3z²=0  求证：x=y．

Answer 1

考点：完全平方公式

专题：阅读型

分析：（1）利用ab=

1

4

[（a+b）²-（a-b）²]，可得原式=

1

4

[（203+197）²-（203-197）²]-

1

4

[（201+199）²-（201-199）²]，再计算即可；
（2）由ab=

1

4

[（a+b）²-（a-b）²]，可得xy=

1

4

[（x+y）²-（x-y）²]，代入xy-25-3z²=0，得出

1

4

（x-y）²]+3z²=0，根据非负数的性质即可证明．

解答：（1）解：203×197-201×199
=

1

4

[（203+197）²-（203-197）²]-

1

4

[（201+199）²-（201-199）²]
=

1

4

[400²-6²]-

1

4

[400²-2²]
=

1

4

×400²-

1

4

×6²-

1

4

×400²+

1

4

×2²
=-9+1
=-8；

（2）证明：∵x=10-y，
∴x+y=10，
∵xy-25-3z²=0，xy=

1

4

[（x+y）²-（x-y）²]，
∴

1

4

[10²-（x-y）²]-25-3z²=0，
∴25-

1

4

（x-y）²]-25-3z²=0，
∴

1

4

（x-y）²]+3z²=0，
∴x-y=0，z=0，
∴x=y．

点评：此题主要考查了完全平方公式，恰当利用材料是解题的关键．