Question

正方形ABCD和正方形A'B'C'D'边长均为(2+)(3+) ,中心O、各边都互相重合

⑴、正方形A'B'C'D'绕着中心O,逆时针方向旋转45⁰时（如图1），求证：△AEF≌△A'GF

⑵、正方形A'B'C'D'绕着中心O,逆时针方向旋转任意锐角时（如图2），1⁰、指出△AEF的不变量；2⁰、当锐角由30⁰到45⁰时求△AEF面积的取值范围.

Answer 1

（1）连接AA’则OA=OA’∴∠OAA’=∠OA’A,∵∠FAO=FA’O=45⁰

∴∠FAA’=∠FA’A, ∴AF=A’F, ∵∠FA’G=∠FAE=90⁰, ∠A’FG=∠AFE

∴△AEF≌△A’GF

(2)1⁰同理可证△AEF≌△A’GF,由此可得△AEF的周长不变等于正方形边长.

2⁰当旋转的锐角为30⁰时，设AF=x，则EF=2x，AE= x，

三边之和为（3+）x=(2+)(3+)，∴x=(2+).s=3+2；

当旋转的锐角为45⁰时，设AF=y，则AE=y ，EF=y，

三边之和为(2+)y=(2+)(3+)，∴y=(3+).s=6+3

由于旋转过程中△AEF的周长不变，而当旋转的锐角由30⁰到45⁰时△AEF的面积也逐步增大。∴3+2≤s≤6+3.