Question

13．如图1，直线l交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0），B（0，b），且（a-b）²+|b-4|=0．

（1）求A、B两点坐标；
（2）如图2，C为线段AB上一点，且C点的横坐标是3．求△AOC的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，以OC为直角边作等腰直角△POC，请求出P点坐标；
（4）如图3，在（2）的条件下，过B点作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而可得出AB两点的坐标；
（2）过C作CD⊥x轴于D，根据C点横坐标可得出OD的长，再由OA=OB可得出∠BAO=45°，故可得出CD的长，由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形POC，证得∠EPO=∠COD，由AAS证得△EPO≌△DOC，得出OE=CD=1，PE=OD=3，即可求得P的坐标；
（4）过A作AG⊥x轴于A，交OC延长线于G．先证△BOD≌△OAG，证得∠BDO=∠G，OD=AG．由∠CEA=∠BDO，得出∠CEA=∠G．根据∠BAO=45°，∠GAO=90°，得出∠BAO=∠CAG=45°．然后根据AAS证得△CEA≌△CGA，得出AE=AG，即可证得OD=AE．

解答 解：（1）∵（a-b）²+|b-4|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b=0\\ b-4=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=4\end{array}\right.$
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）如图1，过C作CD⊥x轴于D．
∵x_C=3，A（4，0），B（0，4）
∴OD=3，OA=OB=4，
∴AD=OA-OD=1，∠BAO=45°，
∴CD=AD=1
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•CD=2，即△AOC的面积为2；

（3）如图1，过P作PE⊥x轴于E，
则∠PEO=∠CDO=90°，
∴∠EPO+∠EOP=90°．
∵△POC是等腰直角三角形，
∴OP=OC，∠POC=90°．
∴∠EOP+∠COD=90°．
∴∠EPO=∠COD．
在△EPO和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}∠PEO=∠CDO\\∠EPO=∠COD\\ OP=OC\end{array}\right.$，
∴△EPO≌△DOC（AAS）
∴OE=CD=1，PE=OD=3，
∴P（-1，3）；

（4）OD=AE．理由如下：
如图2，过A作AG⊥x轴于A，交OC延长线于G．
∴∠GAO=90°．
∵OB⊥OA，BD⊥OC，
∴∠BOD=∠BFO=90°，
∴∠OBD+∠BOF=∠AOF+∠BOF=90°．
∴∠OBD=∠AOF．
在△BOD和△OAG中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BOD=∠GAO=90°\\ OB=OA\\∠OBD=∠AOG\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△OAG（ASA）
∴∠BDO=∠G，OD=AG．
∵∠CEA=∠BDO，
∴∠CEA=∠G．
∵∠BAO=45°，∠GAO=90°，
∴∠BAO=∠CAG=45°．
在△CEA和△CGA中，
$\left\{\begin{array}{l}∠CEA=∠D\\∠CAE=∠CAG\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△CEA≌△CGA（AAS），
∴AE=AG，
∴OD=AE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．