Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：
（1）∠BAC=2∠CBE；
（2）AH=2BD．

Answer 1

分析 （1）根据高的定义求出∠ADC=∠BEC=90°，根据三角形的内角和定理求出∠CAD=∠CBE，根据等腰三角形的性质求出∠BAC=2∠CAD=2∠BAD即可；
（2）根据ASA推出△AEH≌△BEC，根据全等三角形的性质得出AH=BC，根据等腰三角形的性质得出BC=2BD即可．

解答 证明：（1）∵AD和BE是高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
∵AB=AC，AE是高，
∴∠BAC=2∠CAD=2∠BAD，
∴∠BAC=2∠CBE；

（2）∵AD和BE是高，
∴∠AEH=∠BEC=90°，
在△AEH和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠CBE}\\{AE=BE}\\{∠AEH=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD是高，
∴BC=2BD，
∴AH=2BD．

点评 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用能综合运用性质进行推理是解此题的关键．