阅读材料:如图.C为线段BD上一动点.分别过点B.D作AB⊥BD.ED⊥BD.连接AC.EC．设CD=x.若AB=4.DE=2.BD=8.则可用含x的代数式表示AC+CE的长为$\sqrt{16+(8-x)^{2}}$+$\sqrt{4+{x}^{2}}$．然后利用几何知识可知:当A.C.E在一条直线上时.x=$\frac{8}{3}$时.AC+CE的最小值为10．根据以上阅� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

3．

阅读材料：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，则可用含x的代数式表示AC+CE的长为$\sqrt{16+（8-x）^{2}}$+$\sqrt{4+{x}^{2}}$．然后利用几何知识可知：当A、C、E在一条直线上时，x=$\frac{8}{3}$时，AC+CE的最小值为10．根据以上阅读材料，可构图求出代数式$\sqrt{25+（12-x）^{2}}$+$\sqrt{9+{x}^{2}}$的最小值为4$\sqrt{13}$．

分析根据已知图象，重新构造直角三角形，利用三角形相似得出CD的长，进而利用勾股定理得出最短路径问题．

解答解：如图所示：C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，
若AB=5，DE=3，BD=12，
当A，C，E，在一条直线上，AE最短，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽EDC，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{5}{3}$=$\frac{12-CD}{CD}$，
解得：DC=$\frac{9}{2}$．
即当x=$\frac{9}{2}$时，代数式$\sqrt{25+（12-x）^{2}}$+$\sqrt{9+{x}^{2}}$有最小值，
此时为：$\sqrt{25+（12-\frac{9}{2}）^{2}}$+$\sqrt{9+（\frac{9}{2}）^{2}}$=4$\sqrt{13}$．
故答案为：4$\sqrt{13}$．

点评本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．

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