Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5，BD=2，求线段AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连结OD，由OD=OB得∠ODB=∠B，而∠ADC=∠B，则∠ODB=∠ADC；再根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到直线CD是⊙O的切线；
（2）先根据勾股定理计算出DA=

21

，再根据三角形相似的判定方法证明△EAB∽△ADB，然后利用相似比即可计算出AE的长．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODB=∠ADC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠ADC=90°，
即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABD中，AB=5，BD=2，
∴DA=

AB2-BD2

=

21

，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△EAB∽△ADB，
∴

AE

DB

=

AB

DB

，即

AE

21

=

5

2

∴AE=

5 21

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．