Question

已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，BM是线段CF的垂直平分线，垂足为M．N是线段BM上一点，且NC=EF．
（1）若∠BNC=150°，求证：FM=

1

2

EF；
（2）若BN=BE，求证：∠MNC=3∠MBC．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接FN，根据线段垂直平分线的性质得出NF=NC，FM=MC，求出∠FNM=∠CNM，∠CNM=30°，推出△CNF是等边三角形，根据等边三角形的性质得出CF=NC即可；
（2）连接BF，求出∠CBM=∠FBM，NF=EF，根据SSS证△FEB≌△FNB，根据全等三角形的性质得出∠EBN=∠NBF，∠BEF=∠BNF，求出∠ABC=3∠MBC，∠AEF=∠FNM，推出∠MNC=∠AEF，∠AEF=∠ABC，即可得出答案．

解答：证明：（1）连接FN，
∵BM是线段CF的垂直平分线，
∴NF=NC，FM=MC，
∴∠FNM=∠CNM，
∵∠BNC=150°，
∴∠CNM=30°，
∴∠CNF=60°，
∴△CNF是等边三角形，
∴CF=NC，
∵FM=MC，EF=NC，
∴FM=

1

2

EF；

（2）连接BF，
∵BM是线段CF的垂直平分线，
∴∠CBM=∠FBM，
∵NC=NF，NC=EF，
∴NF=EF，
在△FEB和△FNB中

BF=BF EF=FN BE=BN

∴△FEB≌△FNB，
∴∠EBN=∠NBF，∠BEF=∠BNF，
∵∠CBM=∠FBM，∠BEF+∠AEF=∠BNF+∠FNM=180°，
∴∠ABC=3∠MBC，∠AEF=∠FNM，
∵∠FNM=∠MNC，
∴∠MNC=∠AEF，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，
∵∠ABC=3∠MBC，∠MNC=∠AEF，
∴∠MNC=3∠MBC．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．