Question

8．已知菱形的边长为m，对角线之和为2n，则它的面积为2n²-2m．

Answer 1

分析 由菱形的性质可知AC⊥BD，OD+AO=n①，进而可利用勾股定理得到OD²+OA²=m②，结合①②两式化简即可得到OD•OA的值，再根据菱形的面积公式：两条对角线乘积一半即可得到问题答案．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，DO=BO=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∵AC+BD=2n，
∴OD+AO=n①，
∵∠AOB=90°，
∴OD²+OA²=m②，
由①②两式可得n²-2OD•OA=m，
解得：OD•OA=$\frac{{n}^{2}-m}{2}$，
∴BD•AC=2OD•2OA=4OD•OA，
∴菱形面积=$\frac{1}{2}$BD•AC=2n²-2m．
故答案为2n²-2m．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及菱形面积公式的运用，解题的关键是利用整体思想求出OD•OA的值，题目的综合性较强，对学生的计算能力要求较高．